Duas circunferências com raios de 1 cm e 3 cm são tangentes no ponto P, conforme figura a seguir. A reta r tangencia as duas circunferências nos pontos A e B. Assinale a alternativa que corresponde à distância, em cm, entre os pontos A e B.
UFPR · 2025
Questão 9 — UFPR 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Ligue os centros (distância 4) e os centros aos pontos de tangência. Os raios são perpendiculares à reta r. Trace por O_1 uma paralela a r até o raio O_2B.
Resolução
O que você precisa saber
- O raio que vai ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente.
- Circunferências tangentes por fora têm centros a uma distância igual à soma dos raios.
- Uma paralela bem colocada transforma o trapézio em retângulo + triângulo retângulo.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o comprimento do segmento da tangente comum entre os dois pontos de contato.
ESTRUTURAR
• Centros O_1 (raio 1) e O_2 (raio 3), com O_1O_2 = 1 + 3 = 4.
• O_1A \perp r e O_2B \perp r: ABO_2O_1 é um trapézio retângulo.
• Paralela a r por O_1 encontra O_2B em H: O_1H = AB e O_2H = 3 - 1 = 2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar Pitágoras no triângulo retângulo O_1HO_2.
A armadilha: somar os raios no cateto, ou somar os quadrados em vez de subtrair. A conta \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5} dá a alternativa E, mas 4 é a hipotenusa.
CALCULAR
O_1H^2 = O_1O_2^2 - O_2H^2O_1H^2 = 4^2 - 2^2 = 12AB = O_1H = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}CONFERIR
Fórmula conhecida para tangente externa comum: AB = 2\sqrt{r \cdot R} = 2\sqrt{1 \cdot 3} = 2\sqrt{3}. Bate. Alternativa D.
Resposta
AB = 2\sqrt{3} cm.
Alternativa correta
D