No plano cartesiano, considere os pontos P = (2a,\, 0) e Q = (a + 1,\, a - 1), sendo a um número real positivo. Sabendo que a distância entre P e Q é igual a \sqrt{8} cm, assinale a alternativa que corresponde ao valor de a.
UFPR · 2025
Questão 3 — UFPR 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Calcule as diferenças das coordenadas. A diferença dos x e a dos y dão o mesmo valor, a menos do sinal.
Resolução
O que você precisa saber
- Distância entre pontos: d² = (Δx)² + (Δy)².
- Se u² = 4, então u = 2 ou u = −2: as duas raízes precisam ser testadas.
- A condição do enunciado (a positivo) serve para descartar uma das raízes.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor positivo de a que deixa PQ = \sqrt{8}.
ESTRUTURAR
• \Delta x = (a + 1) - 2a = 1 - a.
• \Delta y = (a - 1) - 0 = a - 1.
• PQ^2 = 8.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Montar PQ^2, resolver a equação do 2º grau e usar a > 0.
A armadilha: tirar a raiz de (a - 1)^2 = 4 e ficar só com a - 1 = 2 sem conferir o caso negativo, ou não usar a condição a > 0. Aqui o caso negativo dá a = -1, descartado.
CALCULAR
(1 - a)^2 + (a - 1)^2 = 82(a - 1)^2 = 8(a - 1)^2 = 4a - 1 = 2 \ \text{ou} \ a - 1 = -2a = 3 \ \text{ou} \ a = -1Como a > 0, a = 3.
CONFERIR
Com a = 3: P = (6, 0) e Q = (4, 2). PQ = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}. Alternativa E.
Resposta
a = 3.
Alternativa correta
E