Um círculo, com centro na origem do plano cartesiano, é tangente à reta de equação y = 2x + 2. Qual é o raio desse círculo?
UFPR · 2015
Questão 58 — UFPR 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Se a reta é tangente, o raio é a distância do centro (0, 0) até a reta. Escreva a reta na forma ax + by + c = 0.
Resolução
O que você precisa saber
- Distância de (x₀, y₀) à reta ax + by + c = 0: |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²).
- Reta tangente ao círculo: distância do centro à reta = raio.
- Racionalizar: multiplicar em cima e embaixo pela raiz.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a distância da origem à reta 2x - y + 2 = 0.
ESTRUTURAR
2x - y + 2 = 0• a = 2, b = -1, c = 2.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a fórmula da distância de ponto a reta.
A armadilha: esquecer a raiz no denominador e responder \frac{2}{5}, a alternativa D.
CALCULAR
r = \frac{|2 \cdot 0 - 0 + 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}r = \frac{2\sqrt{5}}{5}CONFERIR
Outra forma: a reta corta os eixos em (-1, 0) e (0, 2). A distância da origem é a altura do triângulo retângulo de catetos 1 e 2 e hipotenusa \sqrt{5}: \frac{1 \cdot 2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}. Alternativa E.
Resposta
\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.
Alternativa correta
E