A figura a seguir representa um octógono regular com centro sobre a origem do sistema cartesiano. Se o vértice A desse octógono tem abscissa x = 8 e ordenada y = 6, conclui-se que a ordenada do vértice B é:
UFPR · 2020
Questão 18 — UFPR 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os vértices estão numa circunferência de raio OA = 10. Passar de A para B é girar 45° em torno da origem.
Resolução
O que você precisa saber
- Num octógono regular, vértices vizinhos estão separados por 360° ÷ 8 = 45° vistos do centro.
- Ponto de raio r e ângulo θ: (r cos θ, r sen θ).
- sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a ordenada do vértice obtido girando A em 45° no sentido anti-horário.
ESTRUTURAR
• OA = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10.
• Ângulo de A: \cos\theta = \dfrac{8}{10}, \operatorname{sen}\theta = \dfrac{6}{10}.
• B: raio 10 e ângulo \theta + 45°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar o seno da soma para calcular y_B = 10\operatorname{sen}(\theta + 45°).
A armadilha: achar que B tem ordenada 10 (o raio) só porque está perto do eixo y. Na figura, B não está sobre o eixo; ele está um pouco à direita.
CALCULAR
y_B = 10\left(\operatorname{sen}\theta\cos 45° + \cos\theta\operatorname{sen} 45°\right)y_B = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{6}{10} + \frac{8}{10}\right)y_B = 5\sqrt{2} \cdot \frac{14}{10} = 7\sqrt{2}CONFERIR
A abscissa de B: 10(\cos\theta\cos 45° - \operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}45°) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{10} = \sqrt{2}. Então B = (\sqrt{2}, 7\sqrt{2}) e OB = \sqrt{2 + 98} = 10. Confere, e x_B > 0 bate com a figura. Alternativa D.
Resposta
7\sqrt{2}.
Alternativa correta
D