Todos gostam de dias extraordinários, ou seja, dias que fogem da rotina da pessoa. Em uma cidade, constatou-se que uma pessoa que sai de casa e retorna no mesmo dia tem a probabilidade de p = 10^{-3} de ter passado esse dia extraordinariamente. Essa pessoa sai de casa e retorna no mesmo dia rotineiramente exatamente 28 dias por mês. Nessa situação, a probabilidade dessa pessoa ter pelo menos dois dias extraordinários no mês é P_2. Suponha que o que acontece em um dia independe do que acontece em qualquer dia. Se essa pessoa reduzir suas saídas rotineiras para exatamente 14 dias por mês (metade dos 28 dias), a probabilidade de ter tido pelo menos um dia extraordinário nesses 14 dias vale P_1. Use a aproximação (1 + \alpha)^n = 1 + n\alpha, válida quando |\alpha| < 1 e |n\alpha| é pequeno comparado a 1. Então, a relação entre P_2 e P_1 vale, aproximadamente,
Questão 28 — Simulado Fuvest 2027
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Use o complementar. "Pelo menos dois" = 1 − (nenhum) − (exatamente um). "Pelo menos um" = 1 − (nenhum).
Resolução
- P(nenhum em n dias) = (1 − p)ⁿ.
- P(exatamente um em n dias) = n · p · (1 − p)ⁿ⁻¹.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: comparar a ordem de grandeza de P_2 e P_1.
ESTRUTURAR
P_2 = 1 - (1 - p)^{28} - 28p(1 - p)^{27}P_1 = 1 - (1 - p)^{14}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a aproximação dada a cada potência.
A armadilha: aproximar também P_2 só até o 1º grau, o que dá P_2 = 0; o termo que sobra é de 2º grau em p.
CALCULAR
P_1 \approx 1 - (1 - 14p) = 14p = 1{,}4 \times 10^{-2}.
P_2 \approx 1 - (1 - 28p) - 28p(1 - 27p) = 756p^2 = 7{,}56 \times 10^{-4}.
\frac{P_2}{P_1} \approx \frac{7{,}56 \times 10^{-4}}{1{,}4 \times 10^{-2}} = 5{,}4 \times 10^{-2}CONFERIR
A razão é da ordem de 10^{-2}: ter dois dias raros é bem menos provável que ter um. A conta exata dá cerca de 2{,}7 \times 10^{-2}; nos dois casos a alternativa mais próxima é 5{,}2 \times 10^{-2}. Alternativa A, que confere com o gabarito oficial do simulado da Fuvest.
\frac{P_2}{P_1} \approx 5{,}2 \times 10^{-2}.