Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
A tabela a seguir apresenta as idades de um grupo de 200 pessoas que participaram de um estudo.
\begin{array}{c|c|c} \textbf{Grupo} & \textbf{Idade} & \textbf{N}^{\textbf{o}}\textbf{ de pessoas} \\ \hline \text{A} & 10 & 50 \\ \text{B} & 20 & 45 \\ \text{C} & 30 & 37 \\ \text{D} & 40 & 28 \\ \text{E} & 50 & 40 \end{array}Para que a mediana das idades passe a ser de 25 anos, algumas pessoas do grupo E serão dispensadas. Para isso, quantas pessoas do grupo E devem sair do estudo?
Nenhuma pessoa tem 25 anos. Então a mediana 25 só pode ser a média de duas idades centrais: uma de 20 e outra de 30. Em que posições terminam os 20 anos e começam os 30?
O que a questão quer de verdade: quantas pessoas de 50 anos tirar para que a mediana fique exatamente 25.
Frequência acumulada (em ordem de idade):
- 10 anos: posições 1 a 50.
- 20 anos: posições 51 a 95.
- 30 anos: posições 96 a 132.
Hoje, com 200 pessoas, as posições centrais são a 100ª e a 101ª, as duas com 30 anos: a mediana é 30.
Para a mediana ser \frac{20 + 30}{2} = 25, as duas posições centrais têm de ser a 95ª (último de 20 anos) e a 96ª (primeiro de 30 anos). Tirar pessoas de 50 anos não muda essas posições, só o total.
A armadilha: pensar que a mediana é a média dos valores (ou que cai num grupo de 25 anos). Como ninguém tem 25 anos, a única saída é ter um total par com o "corte" entre a 95ª e a 96ª pessoa.
Com N pessoas (N par), as posições centrais são \frac{N}{2} e \frac{N}{2} + 1.
\frac{N}{2} = 95 \iff N = 190Saem 200 - 190 = 10 pessoas do grupo E.
Com 190 pessoas, a 95ª tem 20 anos e a 96ª tem 30: mediana \frac{20 + 30}{2} = 25 ✓. O grupo E fica com 30 pessoas.
Por que as outras tentam: saindo 20, 30 ou 40 pessoas (A, E e D), sobram 180, 170 ou 160; as posições centrais ficam entre a 80ª e a 91ª, todas de 20 anos, e a mediana vira 20. Saindo 1 (B), sobram 199, um número ímpar; a mediana é a 100ª idade, que é 30.
Devem sair 10 pessoas do grupo E.
