Seja a o valor real positivo de x para o qual f(x) = g(x), com f(x) = 5\log x e g(x) = \log 25x. Nessas condições, é correto afirmar que a desigualdade \left|x - a^2\right| < a é verificada quando x pertence ao intervalo
PAVE 1 · 2014
Questão 19 — PAVE 1 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use 5\log x = \log x^5 e iguale os logaritmandos para achar a. Depois lembre: |u| < a quer dizer -a < u < a.
Resolução
O que você precisa saber
- k · log x = log xᵏ.
- log u = log v (com u, v > 0) implica u = v.
- |u| < a (com a > 0) equivale a −a < u < a: um intervalo centrado.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o conjunto dos x que satisfazem |x - a^2| < a, depois de descobrir a.
ESTRUTURAR
• Achar a: 5\log x = \log 25x, com x > 0.
• Resolver |x - a^2| < a.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Igualar os logaritmandos, achar a = \sqrt5 e abrir o módulo como desigualdade dupla.
A armadilha: abrir |x - 5| < \sqrt5 como "x - 5 < \sqrt5 ou x - 5 > -\sqrt5", o que dá semirretas (como em B ou C). Módulo menor que um número positivo dá um intervalo limitado.
CALCULAR
\log x^5 = \log 25x \iff x^5 = 25x \iff x^4 = 25 \quad (x > 0)x^2 = 5 \iff x = \sqrt{5} \implies a = \sqrt{5}, \quad a^2 = 5|x - 5| < \sqrt{5} \iff -\sqrt{5} < x - 5 < \sqrt{5} \iff 5 - \sqrt{5} < x < 5 + \sqrt{5}CONFERIR
Conferindo a: 5\log\sqrt5 = \frac52\log 5 e \log(25\sqrt5) = \log 5^{5/2} = \frac52\log5 ✓.
Teste: x = 5 está no intervalo e dá |0| < \sqrt5 ✓; x = 8 está fora (5 + \sqrt5 \approx 7{,}24) e dá 3 < 2{,}24, falso ✓.
Por que as outras tentam: A só usa o valor a = \sqrt5 como extremo. B e C são as partes de fora do intervalo, que resolvem |x - 5| > \sqrt5. E (5\sqrt5 = a^3) não sai de uma leitura correta do módulo.
Resposta
]5 - \sqrt{5}, 5 + \sqrt{5}[.
Alternativa correta
D