Seja f uma função a valores reais, com domínio D \subset \mathbb{R}, tal que f(x) = \log_{10}\big(\log_{1/3}(x^2 - x + 1)\big), para todo x \in D.
O conjunto que pode ser o domínio D é
Fuvest · 2013
Questão 31 — Fuvest 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O \log_{10} exige argumento positivo: \log_{1/3}(\ldots) > 0. Pelo gráfico de base menor que 1, isso acontece quando o argumento está entre 0 e 1.
Resolução
O que você precisa saber
- log_b u existe só para u > 0.
- Base entre 0 e 1: log_b u > 0 ⟺ 0 < u < 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: as condições de existência em camadas.
ESTRUTURAR
0 < x^2 - x + 1 < 1ESCOLHER ESTRATÉGIA
A primeira desigualdade vale sempre (discriminante negativo); resolver a segunda.
A armadilha: tratar a base \frac{1}{3} como se fosse maior que 1 e pedir argumento maior que 1.
CALCULAR
x^2 - x + 1 > 0 sempre, pois \Delta = 1 - 4 < 0.
x^2 - x + 1 < 1 \iff x^2 - x < 0 \iff 0 < x < 1.
CONFERIR
Com x = \frac{1}{2}: x^2 - x + 1 = \frac{3}{4}, \log_{1/3}\frac{3}{4} > 0 e o \log_{10} existe. Com x = 2: argumento 3, \log_{1/3} 3 = -1, e o \log_{10} não existe. Alternativa A, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\{x \in \mathbb{R};\ 0 < x < 1\}.
Alternativa correta
A