Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão
S = \frac{1}{2 \cdot \log_2 2016} + \frac{1}{5 \cdot \log_3 2016}+ \frac{1}{10 \cdot \log_7 2016}O valor de S é
Fuvest · 2016
Questão 9 — Fuvest 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use \frac{1}{\log_b a} = \log_a b. Depois fatore 2016.
Resolução
O que você precisa saber
- log_b a · log_a b = 1.
- k · log x = log xᵏ.
- log x + log y = log(xy).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: juntar tudo num só logaritmo de base 2016.
ESTRUTURAR
S = \tfrac{1}{2}\log_{2016} 2 + \tfrac{1}{5}\log_{2016} 3+ \tfrac{1}{10}\log_{2016} 7ESCOLHER ESTRATÉGIA
Pôr tudo com coeficiente \frac{1}{10} e usar 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.
A armadilha: não perceber que os coeficientes foram escolhidos para reconstruir 2016.
CALCULAR
S = \frac{1}{10}\left(5\log_{2016} 2 + 2\log_{2016} 3\right.\left. + \log_{2016} 7\right)S = \frac{1}{10}\log_{2016}\left(2^5 \cdot 3^2 \cdot 7\right)S = \frac{1}{10}\log_{2016} 2016 = \frac{1}{10}CONFERIR
2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 32 \cdot 9 \cdot 7 = 2016. Alternativa E, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{1}{10}.
Alternativa correta
E