Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta \overline{AC}, passa o plano \alpha paralelo às arestas \overline{AB} e \overline{CD}. Dado que AP = 3, o quadrilátero determinado pelas interseções de \alpha com as arestas do tetraedro tem área igual a
Fuvest · 2016
Questão 10 — Fuvest 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Na face ABC, o plano corta num segmento paralelo a AB; na face ACD, num segmento paralelo a CD. Use semelhança de triângulos.
Resolução
O que você precisa saber
- Plano paralelo a uma reta corta as faces que a contêm em segmentos paralelos a ela.
- No tetraedro regular, arestas opostas são perpendiculares.
- Semelhança: lados proporcionais.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: perceber que a secção é um retângulo e achar seus lados.
ESTRUTURAR
\text{lado} \parallel AB = \frac{CP}{CA} \cdot AB = \frac{7}{10} \cdot 10 = 7\text{lado} \parallel CD = \frac{AP}{AC} \cdot CD = \frac{3}{10} \cdot 10 = 3ESCOLHER ESTRATÉGIA
Os lados opostos da secção são paralelos a AB ou a CD, e AB \perp CD: é um retângulo.
A armadilha: achar que o ângulo entre os lados é 60°, como nas faces, e multiplicar por \operatorname{sen} 60^\circ (isso daria \frac{21\sqrt{3}}{2}).
CALCULAR
\text{Área} = 7 \cdot 3 = 21CONFERIR
O plano corta BC, BD e AD nas mesmas razões 3 : 7, então os lados opostos também medem 7 e 3, fechando o retângulo 7 \times 3. Alternativa A, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
21.
Alternativa correta
A