No quadrilátero plano ABCD, os ângulos A\hat{B}C e A\hat{D}C são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e \overline{BD} é uma diagonal. O cosseno do ângulo B\hat{C}D vale
Fuvest · 2016
Questão 8 — Fuvest 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A diagonal AC divide o quadrilátero em dois triângulos retângulos iguais. O ângulo em C é o dobro do ângulo A\hat{C}B.
Resolução
O que você precisa saber
- Pitágoras.
- cos(2θ) = 2cos²θ − 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o cosseno do dobro de um ângulo conhecido.
ESTRUTURAR
AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\cos\theta = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{\sqrt{5}}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Com \theta = A\hat{C}B, o ângulo pedido é 2\theta.
A armadilha: responder \cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}, que não é o ângulo inteiro.
CALCULAR
\cos(2\theta) = 2 \cdot \frac{4}{5} - 1 = \frac{3}{5}CONFERIR
Pela lei dos cossenos no triângulo BCD: BD = 2 \cdot \frac{1 \cdot 2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}, BD^2 = \frac{16}{5}, e \frac{16}{5} = 4 + 4 - 8\cos dá \cos = \frac{3}{5}. Alternativa C, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{3}{5}.
Alternativa correta
C