No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa \overline{AC} mede 12 cm e o cateto \overline{BC} mede 6 cm. Se M é o ponto médio de \overline{BC}, então a tangente do ângulo M\hat{A}C é igual a
Fuvest · 2015
Questão 48 — Fuvest 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
M\hat{A}C = B\hat{A}C - B\hat{A}M. Ache AB por Pitágoras e use a tangente da diferença.
Resolução
O que você precisa saber
- tg(α − β) = (tg α − tg β) ÷ (1 + tg α · tg β).
- Pitágoras.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a tangente de uma diferença de ângulos.
ESTRUTURAR
AB = \sqrt{144 - 36} = 6\sqrt{3}\operatorname{tg} B\hat{A}C = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{tg} B\hat{A}M = \frac{3}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Aplicar a fórmula da tangente da diferença.
A armadilha: achar que AM divide o ângulo A ao meio só porque M é ponto médio de BC.
CALCULAR
\operatorname{tg} M\hat{A}C = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\frac{7}{6}}\operatorname{tg} M\hat{A}C = \frac{6}{14\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{7}CONFERIR
Pela área: \operatorname{sen} M\hat{A}C = \frac{2 \cdot 9\sqrt{3}}{12\sqrt{117}} e, pela lei dos cossenos, \cos M\hat{A}C = \frac{117 + 144 - 9}{24\sqrt{117}} = \frac{252}{24\sqrt{117}}. A razão dá \frac{36\sqrt{3}}{252} = \frac{\sqrt{3}}{7}. Alternativa B, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{\sqrt{3}}{7}.
Alternativa correta
B