Sabe-se que existem números reais A e x_0, sendo A > 0, tais que
\operatorname{sen} x + 2\cos x = A\cos(x - x_0)para todo x real. O valor de A é igual a
Fuvest · 2015
Questão 51 — Fuvest 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Abra \cos(x - x_0) e compare os coeficientes de \operatorname{sen} x e \cos x.
Resolução
O que você precisa saber
- cos(x − x₀) = cos x cos x₀ + sen x sen x₀.
- sen² + cos² = 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a amplitude de \operatorname{sen} x + 2\cos x.
ESTRUTURAR
A\cos x_0 = 2 \qquad A\operatorname{sen} x_0 = 1ESCOLHER ESTRATÉGIA
Elevar ao quadrado e somar.
A armadilha: somar os coeficientes e responder A = 3.
CALCULAR
A^2(\cos^2 x_0 + \operatorname{sen}^2 x_0) = 4 + 1A = \sqrt{5}CONFERIR
O máximo de \operatorname{sen} x + 2\cos x é \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, igual ao máximo de A\cos(x - x_0). Alternativa C, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\sqrt{5}.
Alternativa correta
C