O número real x, com 0 < x < \pi, satisfaz a equação
\log_3(1 - \cos x) + \log_3(1 + \cos x)= -2.Então, \cos 2x + \operatorname{sen} x vale
Fuvest · 2012
Questão 60 — Fuvest 2012
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Some os logaritmos: (1 - \cos x)(1 + \cos x) = \operatorname{sen}^2 x.
Resolução
O que você precisa saber
- log a + log b = log(ab).
- 1 − cos²x = sen²x.
- cos 2x = 1 − 2sen²x.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar \operatorname{sen} x e usar o arco duplo.
ESTRUTURAR
\log_3(\operatorname{sen}^2 x) = -2 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}^2 x = \frac{1}{9}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Como 0 < x < \pi, \operatorname{sen} x > 0.
A armadilha: pegar \operatorname{sen} x = -\frac{1}{3} ou esquecer de somar \operatorname{sen} x no final.
CALCULAR
\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}.
\cos 2x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{7}{9}\cos 2x + \operatorname{sen} x = \frac{7}{9} + \frac{3}{9} = \frac{10}{9}CONFERIR
Os logaritmos existem: 1 \pm \cos x > 0, pois |\cos x| = \frac{2\sqrt{2}}{3} < 1. Alternativa E, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{10}{9}.
Alternativa correta
E