O segmento \overline{AB} é lado de um hexágono regular de área \sqrt{3}. O ponto P pertence à mediatriz de \overline{AB} de tal modo que a área do triângulo PAB vale \sqrt{2}. Então, a distância de P ao segmento \overline{AB} é igual a
Fuvest · 2012
Questão 59 — Fuvest 2012
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Ache o lado AB pela área do hexágono. Depois, a distância pedida é a altura do triângulo PAB relativa a AB.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do hexágono regular de lado ℓ: (3√3/2)ℓ².
- Área do triângulo = base × altura ÷ 2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: a altura do triângulo PAB com base AB.
ESTRUTURAR
\frac{3\sqrt{3}}{2}\ell^2 = \sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad \ell^2 = \frac{2}{3}ESCOLHER ESTRATÉGIA
\ell = \sqrt{\frac{2}{3}} e d = \frac{2\sqrt{2}}{\ell}.
A armadilha: achar que a mediatriz exige algo além da altura; o pé da altura é o ponto médio de AB, e a distância é a própria altura.
CALCULAR
d = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2/3}} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{3}CONFERIR
\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2}. Alternativa E, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
2\sqrt{3}.
Alternativa correta
E