A função real f: A \to B é definida por f(x) = \sqrt{x + 5} e essa função tem inversa f^{-1}(x) real. Nessas circunstâncias, é correto afirmar que os domínios da f e da f^{-1} devem satisfazer, respectivamente, as restrições:
PAVE 1 · 2013
Questão 15 — PAVE 1 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Para a raiz existir, o que vai dentro dela não pode ser negativo. E o domínio da inversa é o conjunto dos valores que f produz: que valores uma raiz quadrada pode dar?
Resolução
O que você precisa saber
- Raiz quadrada real: o radicando tem de ser maior ou igual a zero.
- A raiz quadrada nunca é negativa: √u ≥ 0.
- Domínio de f⁻¹ = imagem de f, e imagem de f⁻¹ = domínio de f.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o domínio de f e o domínio de f^{-1}, que é a imagem de f.
ESTRUTURAR
• Domínio de f: x + 5 \geq 0.
• Domínio de f^{-1} = imagem de f = valores possíveis de \sqrt{x + 5}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver a condição da raiz e depois descobrir a imagem de f.
A armadilha: achar a lei da inversa, f^{-1}(x) = x^2 - 5, e dizer que ela aceita qualquer x real (alternativa B). A conta x^2 - 5 funciona para todo x, mas a inversa de f só recebe os valores que f produz, e esses nunca são negativos.
CALCULAR
x + 5 \geq 0 \iff x \geq -5 \quad\Rightarrow\quad D(f) = [-5, +\infty[Quando x percorre [-5, +\infty[, \sqrt{x + 5} assume todos os valores de 0 em diante:
D(f^{-1}) = \text{Im}(f) = [0, +\infty[CONFERIR
Teste: f(-5) = 0, f(4) = 3, f(20) = 5; e f^{-1}(3) = 3^2 - 5 = 4 ✓. Já f^{-1}(-3) daria 9 - 5 = 4 também, mas f(4) = 3, e não -3: por isso -3 não pode estar no domínio da inversa ✓.
Por que as outras tentam: B usa a lei x^2 - 5 sem restrição. C e D esquecem a condição da raiz em f. E troca -5 por 5 e inverte o sentido.
Resposta
D(f) = [-5, +\infty[ e D(f^{-1}) = [0, +\infty[.
Alternativa correta
A