Se a = \sqrt{2 + \sqrt{3}} e b = \sqrt{2 - \sqrt{3}}, então (a - b)^2 será um número
IFSul Verão · 2027
Questão 14 — IFSul Verão 2027
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Desenvolva (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Quanto vale a^2 + b^2? E ab?
Resolução
O que você precisa saber
- Quadrado da diferença: (a − b)² = a² − 2ab + b².
- (√x)² = x para x ≥ 0.
- √x · √y = √(xy) e (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de (a - b)^2, sem precisar calcular a e b separadamente.
ESTRUTURAR
• a^2 = 2 + \sqrt{3} e b^2 = 2 - \sqrt{3}.
• ab = \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar o produto notável: os termos com \sqrt{3} se cancelam na soma, e o produto vira diferença de quadrados.
A armadilha: escrever (a - b)^2 = a^2 - b^2, que dá 2\sqrt{3} e leva à alternativa "irracional".
CALCULAR
a^2 + b^2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4ab = \sqrt{4 - 3} = 1(a - b)^2 = 4 - 2 \cdot 1 = 2CONFERIR
Com calculadora: a \approx 1{,}932 e b \approx 0{,}518, então a - b \approx 1{,}414 = \sqrt{2}, e (\sqrt{2})^2 = 2. O número 2 é primo. Alternativa A.
Resposta
(a - b)^2 = 2, um número primo.
Alternativa correta
A