Considere a equação
f(x) = \dfrac{2e^{x^2} + C}{3C\,e^{-\frac{x^2}{2}}}em que f é uma função real para todo número real x e uma constante C > 0. Com base na função f e na constante C, pode-se afirmar:
Fuvest · 2027
Questão 34 — Fuvest 2027
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
x só aparece como x^2. E, com C > 0, numerador e denominador são sempre positivos.
Resolução
O que você precisa saber
- Função par: f(−x) = f(x) para todo x.
- e elevado a qualquer número real é positivo.
- e⁰ = 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: reconhecer que f é par e sempre positiva, e achar C com f(0) = 1.
ESTRUTURAR
• (-x)^2 = x^2, então f(-x) = f(x) para todo x e todo C.
• Numerador 2e^{x^2} + C > 0 e denominador 3Ce^{-x^2/2} > 0: f(x) > 0.
• f(0) = \frac{2 + C}{3C}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Descartar as alternativas que pedem f = 0, f < 0 ou f(x) \ne f(-x), e testar f(0) = 1.
A armadilha: ver a exponencial no denominador e achar que f pode mudar de sinal ou deixar de ser par.
CALCULAR
f(0) = 1 \iff 2 + C = 3C \iff C = 1.
Para C = 1, f(0) = 1 e f(x) = f(-x) para todo x. B é verdadeira.
A: f(x) = 0 é impossível, porque f > 0.
C: f(x) < f(-x) contradiz f(x) = f(-x).
D e E: f(1) > 0, então f(1) < 0 e f(1) = 0 são falsas.
CONFERIR
Com C = 1: f(1) = \frac{2e + 1}{3e^{-1/2}} \approx \frac{6{,}44}{1{,}82} \approx 3{,}5 > 0, e f(-1) dá o mesmo valor. Alternativa B.
Resposta
f(0) = 1 e f(x) = f(-x) para todo x real, com C = 1.
Alternativa correta
B