Considere a função f, dada por f(x) = b^x, com b > 0, b \ne 1 e x \in \mathbb{R}, e a sua inversa f^{-1}. A figura destaca dois pontos, um pertencente ao gráfico de f e outro ao gráfico de f^{-1}. Determine b + k.
Fuvest · 2024
Questão 80 — Fuvest 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
O ponto (3, \frac{27}{125}) está na exponencial (a curva que se aproxima do eixo x). Dele sai b.
Resolução
O que você precisa saber
- Exponencial f(x) = bˣ com 0 < b < 1 é decrescente e positiva.
- A inversa é f⁻¹(x) = log_b x.
- Se y = log_b x, então b^y = x.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar b por um ponto da exponencial e k por um ponto da logarítmica.
ESTRUTURAR
b^3 = \frac{27}{125} \qquad k = \log_b \frac{9}{25}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Identificar qual ponto é de qual curva: a exponencial é sempre positiva, então é a curva que fica acima do eixo x à direita.
A armadilha: trocar os pontos e escrever b^{9/25} = k, o que não leva a nenhuma conta possível.
CALCULAR
b^3 = \left(\frac{3}{5}\right)^3, então b = \frac{3}{5}.
k = \log_{3/5} \frac{9}{25} = 2, pois \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}.
b + k = \frac{3}{5} + 2 = \frac{13}{5}.
CONFERIR
Simetria: (3, \frac{27}{125}) está em f, então (\frac{27}{125}, 3) está em f^{-1}; e (\frac{9}{25}, 2) em f^{-1} corresponde a (2, \frac{9}{25}) em f, coerente com b = \frac{3}{5}. Alternativa D, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{13}{5}.
Alternativa correta
D