Progressão geométrica: soma de termos e base 3Média
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Em um campeonato de cartas, foi adotado o seguinte sistema de pontuação: quem vence a primeira rodada ganha 1 ponto e, a partir da segunda rodada, a pontuação é o triplo daquela da rodada anterior. Desse modo, o vencedor da primeira rodada ganha 1 ponto, o vencedor da segunda rodada ganha 3 pontos, quem vencer na terceira ganha 9, e assim até o final do campeonato. O jogador pontua somente se vencer a rodada.
Considerando que um jogador acumulou 820 pontos durante todo o campeonato, quantas rodadas ele ganhou?
(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6
Pista
As rodadas valem 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, … Comece pela maior potência de 3 que cabe em 820.
Resolução
O que você precisa saber
PG de razão 3: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729.
Cada potência de 3 é maior que a soma de todas as anteriores.
Escrita em base 3.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: escrever 820 como soma de potências de 3 distintas e contar as parcelas.
ESTRUTURAR
820 = 3^a + 3^b + \dots, com expoentes diferentes (cada rodada só é vencida uma vez).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Tirar sempre a maior potência de 3 que cabe no que sobra.
A armadilha: achar que o jogador venceu rodadas seguidas desde a primeira. A soma 1 + 3 + \dots + 243 = 364 e a soma até 729 dá 1093, e nenhuma delas é 820.
CALCULAR
820 - 729 = 91.
91 - 81 = 10.
10 - 9 = 1.
1 - 1 = 0.
820 = 729 + 81 + 9 + 1 = 3^6 + 3^4 + 3^2 + 3^0: 4 rodadas (a 1ª, a 3ª, a 5ª e a 7ª).
CONFERIR
729 + 81 + 9 + 1 = 820. Em base 3, 820 é 1010101: quatro algarismos 1, e a decomposição é única. Alternativa C.
