Progressões: sequência construída somando os termos de uma PAMédia–difícil
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Seja (a_n) uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a_1 e a razão r, ambos números reais. É possível construir uma outra sequência (b_n), em que o primeiro termo é um número real b_1 e com a seguinte lei de formação
b_{n+1} = b_n + a_n,
sendo n > 0 um número natural.
Por exemplo, se b_1 = 0 e
(a_n) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots),
tem-se
(b_n) = (0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots).
Com base em tais informações, os valores de a_1 e r foram escolhidos de forma que (b_n) também seja uma progressão aritmética de razão r'. Nessas condições, é correto afirmar:
(A)
r' = a_1.
(B)
r' = 2a_1.
(C)
r' = r.
(D)
r' = 2r.
(E)
r' = b_1 - a_1.
Pista
Na sequência (b_n), a diferença entre termos vizinhos é b_{n+1} - b_n = a_n. Para (b_n) ser PA, essa diferença tem de ser constante.
Resolução
O que você precisa saber
PA: diferença entre termos consecutivos constante.
Termo geral da PA: aₙ = a₁ + (n − 1)r.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: que condição sobre (a_n) faz (b_n) ser PA e quanto vale a razão nesse caso.
ESTRUTURAR
b_{n+1} - b_n = a_n = a_1 + (n-1)r
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Exigir que a_n seja constante para todo n.
A armadilha: marcar r' = r por semelhança entre as letras. A razão de (b_n) é o próprio termo de (a_n), não a razão de (a_n).
CALCULAR
Para (b_n) ser PA, a_1 + (n-1)r não pode depender de n. Isso só acontece com r = 0.
Então a_n = a_1 para todo n, e b_{n+1} - b_n = a_1. A razão é r' = a_1.
C (r' = r = 0) só valeria no caso particular a_1 = 0. B, D e E também não valem em geral.
CONFERIR
Exemplo: a_n = (3, 3, 3, \ldots) e b_1 = 2 dão b_n = (2, 5, 8, 11, \ldots), PA de razão 3 = a_1. Alternativa A, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
