Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de \text{R\$ 1.000,00}, e cada novo metro custou \text{R\$ 200,00} a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de \text{R\$ 48.600,00}, a profundidade do poço é:
Fuvest · 2022
Questão 35 — Fuvest 2022
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os custos por metro formam uma PA de primeiro termo 1000 e razão 200. A soma de n termos é 48.600.
Resolução
O que você precisa saber
- Soma da PA: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
- aₙ = a₁ + (n − 1)r.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o número de termos n da PA cuja soma é 48.600.
ESTRUTURAR
S_n = 1000n + 200 \cdot \frac{n(n-1)}{2}S_n = 48\,600ESCOLHER ESTRATÉGIA
Simplificar e resolver a equação do 2º grau em n.
A armadilha: dividir 48.600 pelo custo médio errado, ou pelo custo do primeiro metro (48,6 m).
CALCULAR
1000n + 100n^2 - 100n = 48\,600.
100n^2 + 900n - 48\,600 = 0, ou seja, n^2 + 9n - 486 = 0.
n = \frac{-9 + \sqrt{81 + 1944}}{2} = \frac{-9 + 45}{2} = 18.
CONFERIR
a_{18} = 1000 + 17 \cdot 200 = 4400; S_{18} = \frac{18(1000 + 4400)}{2} = 9 \cdot 5400 = 48\,600. Alternativa B, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
18 m
Alternativa correta
B