A igualdade correta para quaisquer a e b, números reais maiores do que zero, é
Fuvest · 2016
Questão 4 — Fuvest 2016
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Teste a = b = 1 para descartar as falsas. Depois lembre da fatoração da diferença de cubos.
Resolução
O que você precisa saber
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- (x − y)² = x² − 2xy + y².
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: reconhecer a fatoração da diferença de cubos.
ESTRUTURAR
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)ESCOLHER ESTRATÉGIA
Contraexemplo com a = b = 1 para a), b), c) e d); conferir e) pela fatoração.
A armadilha: "distribuir" raiz ou inverso sobre a soma.
CALCULAR
Com a = b = 1: a) \sqrt[3]{2} \neq 2; b) \frac{1}{1 - \sqrt{2}} \approx -2{,}41 \neq -1; c) 0 = 0, mas com a = 4, b = 1 fica 1 \neq 3; d) \frac{1}{2} \neq 2.
e) Como a^2 + ab + b^2 > 0, dá para dividir: \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b.
CONFERIR
Com a = 2, b = 1: \frac{8 - 1}{4 + 2 + 1} = 1 = 2 - 1. Alternativa E, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b.
Alternativa correta
E