Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo \theta a medida do ângulo A\hat{O}B, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados: \operatorname{tg} 14^\circ \cong 0{,}2493, \operatorname{tg} 15^\circ \cong 0{,}2679, \operatorname{tg} 20^\circ \cong 0{,}3640, \operatorname{tg} 28^\circ \cong 0{,}5317.
Com OA = OB = r: área do triângulo \frac{r^2\operatorname{sen}\theta}{2} e AB = 2r\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}. Compare.
O que a questão quer de verdade: transformar a comparação de áreas numa condição sobre \operatorname{tg}\frac{\theta}{2}.
Dividir por r^2\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} > 0.
A armadilha: escolher d): \theta logo acima de 28° dá \frac{\theta}{2} logo acima de 14°, onde a tangente ainda pode estar abaixo de 0,25.
Como \operatorname{tg} 14^\circ \cong 0{,}2493 < 0{,}25 < 0{,}2679 \cong \operatorname{tg} 15^\circ, a condição vale com certeza quando \frac{\theta}{2} \ge 15^\circ, ou seja, \theta \ge 30^\circ (e \theta < 180^\circ).
Em e), 15^\circ < \frac{\theta}{2} < 75^\circ, e a tangente passa de 0,2679 > 0,25. As outras incluem ângulos com \operatorname{tg}\frac{\theta}{2} < 0{,}25 (por exemplo \theta = 20^\circ ou \theta = 28{,}01^\circ). Alternativa E, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
30^\circ < \theta < 150^\circ.
