Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = ca^{-kt}, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m_0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m_0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?
Fuvest · 2012
Questão 68 — Fuvest 2012
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Em cada intervalo de 10 anos a massa é multiplicada pelo mesmo fator, 0,2.
Resolução
O que você precisa saber
- Exponencial: intervalos iguais de tempo multiplicam pelo mesmo fator.
- a^(−k·20) = (a^(−k·10))².
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: aplicar o fator de 10 anos duas vezes.
ESTRUTURAR
a^{-10k} = 0{,}2\frac{m(20)}{m_0} = \left(a^{-10k}\right)^2ESCOLHER ESTRATÉGIA
Elevar 0,2 ao quadrado.
A armadilha: pensar em queda linear (perder 80% a cada 10 anos) e concluir que não sobra nada.
CALCULAR
\frac{m(20)}{m_0} = 0{,}2^2 = 0{,}04 = 4\%CONFERIR
Em 10 anos, 100% vira 20%; em mais 10 anos, 20% vira 20% de 20% = 4%. Alternativa C, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
4%.
Alternativa correta
C