Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a
Fuvest · 2012
Questão 67 — Fuvest 2012
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Ligue o ponto médio M de AB a C e a D: MC = MD são alturas de faces. O ponto médio N de CD forma um triângulo retângulo MNC.
Resolução
O que você precisa saber
- Altura do triângulo equilátero de lado a: a√3/2.
- Mediana do triângulo isósceles relativa à base é perpendicular a ela.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o segmento MN no triângulo isósceles MCD.
ESTRUTURAR
MC = MD = \frac{a\sqrt{3}}{2} \qquad CN = \frac{a}{2}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Pitágoras no triângulo MNC, retângulo em N.
A armadilha: tomar MN como altura de uma face.
CALCULAR
MN^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}MN = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}CONFERIR
Pelo cubo: o tetraedro regular de aresta a cabe num cubo de aresta \frac{a}{\sqrt{2}}, e os pontos médios de arestas opostas são centros de faces opostas do cubo, à distância de uma aresta do cubo, \frac{a\sqrt{2}}{2}. Alternativa D, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Alternativa correta
D