Considere todos os pares ordenados de números naturais (a, b), em que 11 \le a \le 22 e 43 \le b \le 51. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a, b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?
Fuvest · 2012
Questão 66 — Fuvest 2012
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
b par e fração irredutível obrigam a ímpar. Para cada b par, tire os a ímpares com fator comum.
Resolução
O que você precisa saber
- Irredutível: mdc(a, b) = 1.
- Fatorar 44, 46, 48 e 50.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: contar pares com b par, a ímpar e sem fator comum.
ESTRUTURAR
\text{total} = 12 \cdot 9 = 108a \in \{11, 13, 15, 17, 19, 21\}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Analisar b = 44, 46, 48, 50.
A armadilha: esquecer que a/b com a par nunca é irredutível quando b é par.
CALCULAR
b = 44 = 4 \cdot 11: tira a = 11, sobram 5.
b = 46 = 2 \cdot 23: os 6 servem.
b = 48 = 16 \cdot 3: tira 15 e 21, sobram 4.
b = 50 = 2 \cdot 25: tira 15, sobram 5.
Favoráveis: 5 + 6 + 4 + 5 = 20.
P = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}CONFERIR
De 11 a 22 há 12 valores de a; de 43 a 51, 9 valores de b. Alternativa E, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\frac{5}{27}.
Alternativa correta
E