Potências com expoente racional (base entre 0 e 1)Média
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo \sqrt{X}, o terceiro X^{\frac{1}{3}}, o quarto X^2 e o último X^3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.
Qual desses países obteve o maior IDH?
(A)
O primeiro.
(B)
O segundo.
(C)
O terceiro.
(D)
O quarto.
(E)
O quinto.
Pista
X está entre 0 e 1. Teste um valor, como 0,64, e compare as cinco expressões.
Resolução
O que você precisa saber
Para X entre 0 e 1, quanto maior o expoente, menor a potência.
Raiz quadrada é expoente meio; raiz cúbica é expoente um terço.
Testar um número concreto ajuda a comparar expressões.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: qual expoente dá o maior valor quando a base está entre 0 e 1.
ESTRUTURAR
• 0 < X < 1.
• Expoentes: 1, meio, um terço, 2 e 3.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Com base entre 0 e 1, o menor expoente dá o maior resultado. O menor expoente é um terço.
A armadilha: achar que o maior expoente dá o maior número e marcar X^3 (alternativa E). Isso só vale para base maior que 1.
Ordem: X^3 < X^2 < X < \sqrt{X} < X^{\frac{1}{3}}. O terceiro país tem o maior índice.
Resposta
O terceiro país.
Alternativa corretaC
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H4 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
Em palavras de salaVocê faz a conta e depois pergunta se o resultado serve no mundo real. Dá para fazer 8,57 lavagens? Pode sair mais luz do que entrou? A resposta tem de ser um número que funciona na situação.
Por que é H4
Saber que o índice fica entre 0 e 1 decide qual potência é a maior. Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico é a H4.
A H4 nesta questão
Com 0 < X < 1, um expoente menor dá um resultado maior: X³ < X² < X < X^(1/2) < X^(1/3). O terceiro país tem o maior IDH.
O que muda na hora de resolver
A H4 pede um teste com um valor, por exemplo X = 0,64: X² ≈ 0,41 e √X = 0,8. Quem pensa em base maior que 1 marca X³. Só 19% acertaram.
