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ENEM · 2018

Questão 139 — ENEM 2018

Comprimento de arco e coordenadas polares Média–difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de \frac{\pi}{6} rad, conforme a figura.

Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0 ; 0).

Considere o valor de \pi com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.

Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a

(A)

\dfrac{2 \cdot \pi \cdot 1}{3} + 8

(B)

\dfrac{2 \cdot \pi \cdot 2}{3} + 6

(C)

\dfrac{2 \cdot \pi \cdot 3}{3} + 4

(D)

\dfrac{2 \cdot \pi \cdot 4}{3} + 2

(E)

\dfrac{2 \cdot \pi \cdot 5}{3} + 2

Resolução

O que você precisa saber

Arco de ângulo θ em radianos e raio r: θ vezes r.
120° = 2π sobre 3.
2π sobre 3 ≈ 2,09, um pouco mais que 2.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o raio r do arco que minimiza o caminho de B (raio 4) a A (raio 6).

ESTRUTURAR

• B: raio 4, ângulo 30°. A: raio 6, ângulo 150°.

• Diferença: 120°, ou \frac{2\pi}{3}.

• Caminho pelo raio r: (4 - r) + \frac{2\pi r}{3} + (6 - r), com r de 1 a 4.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Escrever o comprimento em função de r e ver qual r dá o menor valor.

A armadilha: fazer o arco na circunferência de B, de raio 4, e depois subir 2 até A: \frac{2\pi \cdot 4}{3} + 2 \approx 10{,}37 (alternativa D). Parece direto, mas o arco grande custa mais.

CALCULAR

L(r) = 10 - 2r + \frac{2\pi}{3}r = 10 + \left(\frac{2\pi}{3} - 2\right) r

Como \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09 > 2, L cresce com r. O menor r permitido é 1:

L(1) = \frac{2\pi \cdot 1}{3} + 8 \approx 10{,}09

CONFERIR

Valores: r = 1, 10,09; r = 2, 10,19; r = 3, 10,28; r = 4, 10,37. Com π = 3 todos dariam 10, e é por isso que o enunciado pede pelo menos uma casa decimal.

Resposta

\dfrac{2 \cdot \pi \cdot 1}{3} + 8

Alternativa correta A

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H26 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.

Em palavras de salaO gráfico ou a tabela é a prova. A pergunta pede uma conclusão, e as alternativas trazem justificativas. Você escolhe a que usa o critério certo, lido no lugar certo do gráfico.

Por que é H26

A figura da malha dá os caminhos possíveis, e o argumento é qual deles é o mais curto. Analisar informações de gráficos como recurso para a construção de argumentos é a H26.

A H26 nesta questão

Descendo até o raio r, o caminho mede (4 − r) + 2πr/3 + (6 − r) = 10 − 2r + 2,09r. Fica menor quanto menor o r: com r = 1, cerca de 10,09.

O que muda na hora de resolver

A H26 pede para comparar os caminhos com números. O arco direto no raio 4 parece o mais curto e mede cerca de 10,37. Só 17% acertaram.

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