Questão 27 — Colégio Tiradentes 2026

Radicais: expressão com radical duplo Média–difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Considere a expressão real A dada por:

A = \sqrt{15 + 2\sqrt{50}} - \sqrt{15 - 2\sqrt{50}}

Ao simplificar totalmente o valor da expressão A, obtém-se o valor:

(A)

2\sqrt{5}

(B)

3\sqrt{6}

(C)

\sqrt{15}

(D)

(E)

Resolução

O que você precisa saber

Quadrado da diferença: (a − b)² = a² − 2ab + b².
√x · √y = √(x · y), quando x e y são positivos.
Produto da soma pela diferença: (a + b)(a − b) = a² − b².

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o valor simplificado de A, que é a diferença entre duas raízes "duplas" (uma raiz com outra raiz dentro).

ESTRUTURAR

Chame a = \sqrt{15 + 2\sqrt{50}} e b = \sqrt{15 - 2\sqrt{50}}. Então A = a - b e

A^2 = a^2 - 2ab + b^2

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Calcular a^2, b^2 e ab separadamente, somar e só no fim tirar a raiz.

A armadilha: parar em A^2 = 20 e marcar 20. O 20 é o quadrado de A, não o próprio A.

CALCULAR

• a^2 + b^2 = (15 + 2\sqrt{50}) + (15 - 2\sqrt{50}) = 30

• ab = \sqrt{(15 + 2\sqrt{50})(15 - 2\sqrt{50})} = \sqrt{15^2 - 4 \cdot 50} = \sqrt{225 - 200} = \sqrt{25} = 5

A^2 = 30 - 2 \cdot 5 = 20

Como a > b, A é positivo:

A = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}

CONFERIR

Outro caminho: 15 + 2\sqrt{50} = 10 + 5 + 2\sqrt{10}\sqrt{5} = (\sqrt{10} + \sqrt{5})^2 e, do mesmo jeito, 15 - 2\sqrt{50} = (\sqrt{10} - \sqrt{5})^2. Então A = (\sqrt{10} + \sqrt{5}) - (\sqrt{10} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} ✓.

Resposta

A expressão vale 2\sqrt{5}.

Alternativa correta A