Questão 34 — Colégio Tiradentes 2024

Racionalização de denominadores Média–difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Assinale a alternativa que representa a simplificação correta da fração

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

(A)

\sqrt{2}

(B)

2\sqrt{2}

(C)

\dfrac{4\sqrt{3}}{3} + 1

(D)

\dfrac{3}{8}

(E)

\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{6}}{2}

Resolução

O que você precisa saber

(a + b)(a − b) = a² − b² (produto da soma pela diferença).
Multiplicar em cima e embaixo pelo mesmo número não muda a fração.
√3 · √6 = √18 = 3√2.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: racionalizar a primeira fração, somar com a segunda e simplificar.

ESTRUTURAR

(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = 6 - 2 = 4

Assim as duas frações ficam com denominador 4.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Racionalizar com o "conjugado" \sqrt{6}-\sqrt{2}, juntar as frações e simplificar por 2.

A armadilha: multiplicar só o denominador pelo conjugado, ou errar o sinal ao juntar -\sqrt{6} com -\sqrt{6}.

CALCULAR

\frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{6}}{4}= \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

Somando com a segunda fração:

\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}= \frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{4}= \sqrt{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}

CONFERIR

Com valores aproximados: \sqrt{3} \approx 1{,}732, \sqrt{6}+\sqrt{2} \approx 3{,}864, então a primeira fração vale cerca de 0,448; a segunda vale cerca de -0{,}259. Soma ≈ 0,189. E \sqrt{2} - \tfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}414 - 1{,}225 = 0{,}189 ✓.

Resposta

A expressão simplificada é \sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{6}}{2}.

Alternativa correta E