As equações biquadradas são equações do 4º grau, em que os expoentes da variável são números pares. Dada a equação biquadrada a seguir:
p^4 - 7p^2 - 8 = 0o produto de todas as raízes reais é:
Colégio Tiradentes · 2024
Questão 26 — Colégio Tiradentes 2024
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Troque p² por uma letra nova, por exemplo y. A equação vira uma equação do 2º grau em y. Depois volte para p e veja quais valores de y servem.
Resolução
O que você precisa saber
- Numa equação biquadrada, a troca y = p² transforma tudo numa equação do 2º grau.
- Nenhum número real elevado ao quadrado dá resultado negativo.
- Se p² = 8, então p = √8 ou p = −√8.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar só as raízes reais da equação e multiplicar todas elas.
ESTRUTURAR
Fazendo y = p^2, temos p^4 = y^2:
y^2 - 7y - 8 = 0ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver em y (dois números de soma 7 e produto −8), voltar para p e descartar o valor de y que é negativo.
A armadilha: esquecer o sinal negativo e marcar 8, ou pegar só uma das raízes e marcar -\sqrt{8} ou \sqrt{8}.
CALCULAR
Os números 8 e −1 têm soma 7 e produto −8:
(y - 8)(y + 1) = 0y = 8 \quad \text{ou} \quad y = -1Voltando para p:
• p^2 = 8 dá p = \sqrt{8} ou p = -\sqrt{8}.
• p^2 = -1 não tem solução real.
\sqrt{8} \cdot \left(-\sqrt{8}\right) = -8CONFERIR
Teste p^2 = 8 na equação: 8^2 - 7 \cdot 8 - 8 = 64 - 56 - 8 = 0 ✓. As raízes reais são só \sqrt{8} e -\sqrt{8}, e o produto de um número pelo seu oposto é o quadrado dele com sinal trocado: −8.
Nota editorial: a transcrição da prova escreve a variável ora como P maiúsculo, ora como p minúsculo. É a mesma variável.
Resposta
O produto das raízes reais é −8.
Alternativa correta
C