O valor da expressão
\sqrt[n]{\frac{3^{n+1}}{\sqrt[n+2]{9\sqrt{9^n}}}}é:
Colégio Tiradentes · 2020
Questão 29 — Colégio Tiradentes 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva tudo como potência de 3. Comece por \sqrt{9^n}.
Resolução
O que você precisa saber
- 9 = 3², então 9ⁿ = 3²ⁿ.
- Raiz quadrada de 3²ⁿ é 3ⁿ.
- Raiz de índice k de 3ᵏ é 3.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: simplificar as raízes de dentro para fora usando potências de 3.
ESTRUTURAR
\sqrt{9^n} = \sqrt{3^{2n}} = 3^n9 \cdot 3^n = 3^2 \cdot 3^n = 3^{n+2}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Trocar cada parte por potência de 3 e ir tirando as raízes.
A armadilha: perder-se nos índices. Cada raiz "desfaz" um expoente igual ao seu índice.
CALCULAR
\sqrt[n+2]{3^{n+2}} = 3\frac{3^{n+1}}{3} = 3^n\sqrt[n]{3^n} = 3CONFERIR
Com n = 2: \sqrt{9^2} = 9; 9 \cdot 9 = 81; \sqrt[4]{81} = 3; \tfrac{27}{3} = 9; \sqrt{9} = 3. ✓
Resposta
O valor da expressão é 3.
Alternativa correta
C