O valor que se obtém resolvendo a expressão numérica
\frac{\sqrt{\sqrt[3]{64^{-1}}} - \left(32^2\right)^{\frac{1}{10}}}{\sqrt{3} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{\dfrac{27}{4}}}é igual a:
Colégio Tiradentes · 2019
Questão 28 — Colégio Tiradentes 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
No numerador: 64^{-1} = \tfrac{1}{64} e 32 = 2^5. No denominador, escreva todas as raízes com índice 6.
Resolução
O que você precisa saber
- Expoente negativo inverte: 64 elevado a −1 é 1 sobre 64.
- Potência de potência: multiplique os expoentes.
- Raízes de índices diferentes podem ser escritas com o mesmo índice: √3 é a raiz sexta de 27.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: calcular cada parte da fração usando as propriedades de potências e raízes.
ESTRUTURAR
• Numerador: \sqrt{\sqrt[3]{\tfrac{1}{64}}} menos \left(32^2\right)^{\frac{1}{10}}.
• Denominador: produto de três raízes de índices 2, 3 e 6.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular o numerador direto e passar o denominador para raiz sexta.
A armadilha: achar que \left(32^2\right)^{\frac{1}{10}} é grande. Como 32 = 2^5, ele vale só 2.
CALCULAR
\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4} \qquad \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\left(32^2\right)^{\frac{1}{10}} = \left(2^{10}\right)^{\frac{1}{10}} = 2Numerador: \tfrac{1}{2} - 2 = -\tfrac{3}{2}
\sqrt{3} = \sqrt[6]{27} \qquad \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{4}\sqrt[6]{27 \cdot 4 \cdot \frac{27}{4}} = \sqrt[6]{729} = 3\frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{1}{2}CONFERIR
3^6 = 729, então a raiz sexta de 729 é mesmo 3. ✓
Resposta
A expressão vale -\tfrac{1}{2}.
Alternativa correta
A