O valor de \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)^2 é:
Colégio Tiradentes · 2017
Questão 27 — Colégio Tiradentes 2017
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use (p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2. O produto \left(2 + \sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right) é uma diferença de quadrados.
Resolução
O que você precisa saber
- (p + q)² = p² + 2pq + q².
- (√p)² = p, para p ≥ 0.
- (a + b)(a − b) = a² − b².
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: desenvolver o quadrado da soma de duas raízes.
ESTRUTURAR
p = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \qquad q = \sqrt{2 - \sqrt{3}}p^2 + q^2 = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular 2pq com a diferença de quadrados.
A armadilha: esquecer o termo do meio 2pq e marcar 4.
CALCULAR
pq = \sqrt{\left(2 + \sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right)} = \sqrt{4 - 3} = 1(p + q)^2 = 4 + 2 \cdot 1 = 6CONFERIR
p \approx 1{,}932 e q \approx 0{,}518; p + q \approx 2{,}449, e 2{,}449^2 \approx 6. ✓
Resposta
O valor é 6.
Alternativa correta
C