Questão 32 UFSM Prova 3 2024: Polígonos regulares: ângulos do pentágono e da estrela inscritos (resolvida)

As mandalas são utilizadas na cultura brasileira em diversos contextos, tais como religiosos, decorativos, entre outros.

Considere uma mandala composta por um pentágono inscrito em uma circunferência, cujos vértices são A, B, C, D e E. Traçando os segmentos \overline{AC}, \overline{AD}, \overline{BD}, \overline{BE} e \overline{CE}, obtemos uma estrela como ilustra a figura a seguir.

Com base no exposto, considere as afirmativas a seguir.

I → O ângulo B\hat{A}E mede 72°.

II → O triângulo ACD é isósceles.

III → O ângulo F\hat{A}J mede 36°.

Está(ão) correta(s)

(A)

apenas I.

(B)

apenas III.

(C)

apenas I e II.

(D)

apenas II e III.

(E)

I, II e III.

Resolução

O que você precisa saber

Ângulo interno do pentágono regular: (5 − 2) · 180° ÷ 5 = 108°.
Ângulo inscrito = metade do arco correspondente.
No pentágono regular, todas as diagonais têm a mesma medida.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: medir ângulos do pentágono regular e da estrela usando arcos da circunferência.

ESTRUTURAR

• Cada arco entre vértices vizinhos: 72°.

• B\hat{A}E: ângulo interno do pentágono.

• F\hat{A}J é o mesmo ângulo que C\hat{A}D, que enxerga o arco CD.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Usar ângulo interno para I, igualdade das diagonais para II e ângulo inscrito para III.

A armadilha: em I, confundir o ângulo interno (108°) com o ângulo central (72°).

CALCULAR

I: B\hat{A}E = \dfrac{(5 - 2) \cdot 180°}{5} = 108°. Incorreta.

II: AC e AD são diagonais do pentágono regular, então AC = AD. Correta.

III: F\hat{A}J = C\hat{A}D = \dfrac{72°}{2} = 36°. Correta.

CONFERIR

Conferência de I pelo ângulo inscrito: B\hat{A}E enxerga o arco BCDE, com 3 · 72° = 216°, e \frac{216°}{2} = 108°. Corretas II e III: alternativa D.

Por que as outras tentam: A, C e E aceitam I, que troca o ângulo interno pelo central. B deixa de lado II, que depende só de ver que AC e AD são diagonais.

Resposta

Apenas II e III.

Alternativa correta D