Funções trigonométricas: máximos e mínimos da função cossenoMédia–difícil
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Reciclar é preciso. Em certa cidade, por levantamentos feitos entre os anos de 1990 e 2020, percebeu-se que a quantidade de material reciclável, medida em toneladas, variou muito conforme a quantidade de propaganda maciça, permanente, feita junto à população. Naturalmente, quanto maior foi a quantidade de material reciclado, mais benefícios teve a cidade. O modelo matemático que expressa a quantidade T de material reciclado no ano x é dado por T = 15 + 10\cos\left(\pi\left(\dfrac{x}{20} - 99\right)\right).
Tendo por base as informações apresentadas, considere as afirmativas a seguir.
I → Houve anos melhores que 1990.
II → O ano 2000 foi um dos piores anos.
III → Houve anos piores que 2010.
IV → Houve anos melhores que 2020.
Está(ão) correta(s)
(A)
apenas I.
(B)
apenas II.
(C)
apenas III e IV.
(D)
apenas I, II e III.
(E)
I, II, III, IV.
Pista
Calcule T em 1990, 2000, 2010 e 2020. O cosseno vai de −1 a 1, então T vai de 5 a 25.
Resolução
O que você precisa saber
−1 ≤ cos θ ≤ 1.
cos(π/2) = 0, cos π = −1, cos(3π/2) = 0, cos 2π = 1.
Cosseno tem período 2π: somar múltiplos de 2π não muda o valor.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: comparar T nos anos citados com o mínimo (5) e o máximo (25) possíveis, dentro do período de 1990 a 2020.
ESTRUTURAR
• Mínimo de T: 15 - 10 = 5. Máximo de T: 15 + 10 = 25.
• "Melhor" = mais material reciclado = T maior.
• Anos do levantamento: de 1990 a 2020.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir os quatro anos. Como \frac{x}{20} - 99 dá números como 0,5 ou 1, os ângulos são notáveis.
A armadilha: em IV, achar que sempre existe um ano melhor; 2020 já atinge o máximo 25, e nenhum ano supera esse valor.
I: 2020 (T = 25) foi melhor que 1990 (T = 15). Correta.
II: 2000 tem o valor mínimo, 5. Correta.
III: 2000 (T = 5) foi pior que 2010 (T = 15). Correta.
IV: 2020 tem o valor máximo possível, 25. Incorreta.
Alternativa D. Por que as outras tentam: E aceita IV por achar que a função continua crescendo. A, B e C aceitam só parte das afirmativas para quem calcula um ou dois anos.
