Sendo A = 1 - \operatorname{tg}^2 x, B = 1 + \operatorname{tg}^2 x e C = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x e recorrendo às identidades trigonométricas, pode-se afirmar que a expressão \frac{A}{B} - 2C, com B \neq 0, equivale a
UCPel · 2018
Questão 16 — UCPel 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva \operatorname{tg}^2 x = \frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} em \frac{A}{B} e multiplique em cima e embaixo por \cos^2 x. E lembre que 1 - 2\operatorname{sen}^2 x = \cos 2x.
Resolução
O que você precisa saber
- 1 + tg² x = sec² x.
- cos 2x = cos² x − sen² x = 1 − 2sen² x.
- (1 − tg² x)/(1 + tg² x) = cos 2x.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: simplificar \frac{A}{B} e C até uma única razão trigonométrica. A UCPel anulou a questão porque o resultado correto não aparece nas alternativas.
ESTRUTURAR
• \dfrac{A}{B} = \dfrac{1 - \frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x}}{1 + \frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x}} = \dfrac{\cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x} = \cos 2x.
• C = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x = \cos 2x.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir as duas simplificações na expressão.
A armadilha (provavelmente a da própria banca): calcular só \frac{A}{B}, que dá \cos 2x (alternativa B), e esquecer o -2C.
CALCULAR
\frac{A}{B} - 2C = \cos 2x - 2\cos 2x\frac{A}{B} - 2C = -\cos 2xCONFERIR
Teste com x = 0: A = 1, B = 1, C = 1, e \frac{A}{B} - 2C = -1. Já \cos 2x = 1, \sec 2x = 1 e \cos x = 1 em x = 0; \operatorname{sen} 2x e \operatorname{sen} x dão 0. Nenhuma alternativa vale -1, por isso a anulação.
Resposta
Questão anulada pela UCPel. A expressão vale -\cos 2x, que não está entre as alternativas.