Um arquiteto utiliza um triângulo retângulo para calcular a inclinação de uma rampa de acesso. Sabe-se que a medida da mediana relativa à hipotenusa desse triângulo é a média geométrica das medidas dos catetos e que a rampa de acesso será feita pelo maior cateto. Considerando as informações apresentadas, qual é o cosseno do ângulo de inclinação dessa rampa?
Simulado Fuvest 2ª edição · 2027
Questão 51 — Simulado Fuvest 2ª edição 2027
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
A mediana relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa. Escreva os catetos como c\cos\theta e c\operatorname{sen}\theta.
Resolução
O que você precisa saber
- Mediana relativa à hipotenusa = hipotenusa ÷ 2.
- 2 sen θ cos θ = sen 2θ.
- cos 15° = cos(45° − 30°).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar o ângulo agudo junto ao maior cateto.
ESTRUTURAR
\left(\frac{c}{2}\right)^2 = c\cos\theta \cdot c\operatorname{sen}\thetaESCOLHER ESTRATÉGIA
Chegar em \operatorname{sen} 2\theta = \frac{1}{2}. O ângulo junto ao maior cateto é o menor: \theta = 15^\circ.
A armadilha: escolher \theta = 75^\circ, que é o ângulo junto ao menor cateto.
CALCULAR
\frac{c^2}{4} = \frac{c^2}{2}\operatorname{sen} 2\theta \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen} 2\theta = \frac{1}{2}2\theta = 30^\circ, logo \theta = 15^\circ.
\cos 15^\circ = \cos 45^\circ\cos 30^\circ+ \operatorname{sen} 45^\circ\operatorname{sen} 30^\circ\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}CONFERIR
\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}449 + 1{,}414}{4} \approx 0{,}966, que é \cos 15^\circ. Alternativa C, que confere com o gabarito oficial do simulado da Fuvest.
Resposta
\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.
Alternativa correta
C