O conjunto dos valores reais k, para que a função f(x) = x^2 + k(x + 1) - 1, definida no conjunto dos números reais, tenha duas raízes reais a e b com a < b, é
PAVE 1 · 2015
Questão 16 — PAVE 1 2015
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva f(x) = x^2 + kx + (k - 1) e calcule o discriminante. Ele vira um quadrado perfeito. Quando um quadrado é maior que zero?
Resolução
O que você precisa saber
- Duas raízes reais distintas: Δ > 0.
- Δ = b² − 4ac.
- Um quadrado (k − 2)² é positivo para todo k, exceto k = 2, quando vale zero.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os valores de k para os quais f tem duas raízes reais diferentes (a < b exige que sejam distintas).
ESTRUTURAR
• f(x) = x^2 + kx + (k - 1): a = 1, b = k, c = k - 1 (aqui a e b são os coeficientes, não as raízes).
• Condição: \Delta > 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular \Delta em função de k e resolver a desigualdade.
A armadilha: resolver (k - 2)^2 > 0 como se fosse k - 2 > 0 e marcar ]2, +\infty[. O quadrado é positivo também para k < 2.
CALCULAR
\Delta = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k - 1) = k^2 - 4k + 4 = (k - 2)^2(k - 2)^2 > 0 \iff k - 2 \neq 0 \iff k \neq 2O conjunto é \mathbb{R} - \{2\}.
CONFERIR
Teste com k = 2: f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2, raiz dupla -1; não há a < b ✓ (o 2 fica de fora). Teste com k = 0: f(x) = x^2 - 1, raízes -1 e 1 ✓ (valores menores que 2 servem).
Por que as outras tentam: A (]-\infty, 2]) inclui justamente k = 2, o único valor proibido. D (]2, +\infty[) trata o quadrado como se fosse k - 2 e perde todos os k < 2. B e E incluem o k = 2 proibido e ainda deixam de fora valores que funcionam, como k = 6 (fora de B) ou k = 10 (fora de E).
Resposta
\mathbb{R} - \{2\}.
Alternativa correta
C