Área de região: círculo menos quadrado inscritoMédia–difícil
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Segundo historiadores, o cálculo de áreas é uma prática muito antiga. Os primeiros desses cálculos foram realizados no Egito, muitos anos atrás. Naquela época, os agricultores se deparavam com o problema de dividir as terras que não estavam inundadas pelas cheias do rio Nilo, bem como, com problemas de demarcação de divisas, em virtude das altas taxas de impostos. Os registros desses cálculos estão no papiro de Rhind, documento matemático muito antigo, que mostra os problemas práticos de matemática do Egito antigo.
Na figura a seguir, temos dois quadrados do mesmo tamanho sobrepostos a um círculo de raio 3cm.
Qual é a área da parte sombreada?
(A)
8(π − 1) cm²
(B)
6(2π − 1) cm²
(C)
9π − 25 cm²
(D)
9(π − 2) cm²
Pista
A parte branca é um quadrado com os vértices no círculo. A diagonal dele é o diâmetro, 6 cm.
Resolução
O que você precisa saber
Quadrado inscrito no círculo: diagonal = diâmetro.
Área do quadrado pela diagonal: d²/2.
Área do círculo = πr².
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: área do círculo menos a área do quadrado branco.
ESTRUTURAR
• Círculo: \pi \cdot 3^2 = 9\pi.
• Quadrado branco: diagonal 6, área \frac{6^2}{2} = 18.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Subtrair.
A armadilha: tomar o lado do quadrado como 6 (área 36), o que daria área negativa. A alternativa C, 9\pi - 25, corresponde a um quadrado de lado 5, que não é o da figura.
CALCULAR
9\pi - 18 = 9(\pi - 2) \text{ cm}^2
CONFERIR
9(\pi - 2) \approx 9 \cdot 1{,}14 \approx 10{,}3 cm², pouco mais de um terço do círculo (\approx 28{,}3 cm²). Alternativa D.
