Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Duas casas de um tabuleiro no formato de um triângulo equilátero, subdividido em 36 triângulos equiláteros, são pintadas de amarelo. Para que duas pinturas sejam consideradas equivalentes, uma deverá ser obtida a partir da outra por uma rotação de 120° em relação ao encontro das bissetrizes, conforme ilustrado nas imagens a seguir:
Considerando as imagens apresentadas, quantas pinturas não equivalentes existem?
Primeiro conte todas as pinturas: escolher 2 casas entre 36. Depois veja em grupos de quantas elas se juntam pela rotação.
O que a questão quer de verdade: quantos grupos as 630 pinturas formam quando se junta cada pintura com suas rotações de 120° e 240°.
• Total: C(36,2) = 630.
• Cada pintura gera 3 pinturas (girando 0°, 120°, 240°).
• Se nenhuma pintura é igual à sua rotação, os grupos têm exatamente 3 elementos.
Verificar se alguma pintura fica igual depois de girar 120°. Se nenhuma fica, basta dividir por 3.
A armadilha: dividir por 6 (pensando também em reflexões, que a questão não aceita) ou por 2 (achando que só a ordem das casas importa).
Uma rotação de 120° leva cada casa para outra casa. Para uma pintura de 2 casas ficar igual, a rotação teria de manter as duas casas no lugar ou trocar uma pela outra.
• Trocar as duas não dá: aplicando a rotação duas vezes (240°), cada casa voltaria ao lugar, mas uma rotação de 240° também não fixa casa nenhuma.
• Manter uma casa no lugar exigiria uma casa centrada no centro do tabuleiro. Com 6 triângulos por lado, o centro fica a \frac{1}{3} da altura, isto é, exatamente sobre a 2ª linha da grade, num vértice comum a 6 triângulos, e não no meio de uma casa.
Então nenhuma pintura é igual à sua rotação, e os grupos têm 3 pinturas cada: 630 \div 3 = 210.
Pelo Lema de Burnside: \frac{630 + 0 + 0}{3} = 210. Alternativa A.
210 pinturas não equivalentes.
