Potências e sistemas: intervalos da escala pitagóricaDifícil
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões \frac{9}{8} e \frac{256}{243}. A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de \frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{64}.
Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagórica, se o intervalo entre uma nota de 220 Hz e outra de 990 Hz é composto por n tons e m semitons, a soma m + n é igual a:
(A)
13
(B)
14
(C)
15
(D)
16
(E)
17
Pista
Escreva \frac{9}{8} = \frac{3^2}{2^3}, \frac{256}{243} = \frac{2^8}{3^5} e \frac{990}{220} = \frac{9}{2}. Depois iguale os expoentes de 2 e de 3.
Resolução
O que você precisa saber
Fatoração em primos.
Potências de mesma base: multiplicar soma expoentes.
Dois números são iguais quando têm os mesmos expoentes em cada primo.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: achar n e m com \left(\frac{9}{8}\right)^n \left(\frac{256}{243}\right)^m = \frac{9}{2}.
