A função de Euler \varphi determina, para cada número natural n, a quantidade de números naturais menores do que n cujo máximo divisor comum com n é igual a 1. Por exemplo, \varphi(6) = 2 pois os números menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de \varphi(n), para n de 20 a 25?
Fuvest · 2020
Questão 19 — Fuvest 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Para um primo p, todos os números de 1 a p - 1 são primos com p. Há um primo entre 20 e 25?
Resolução
O que você precisa saber
- Se p é primo, φ(p) = p − 1.
- φ(n) < n − 1 quando n não é primo.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o maior \varphi(n) para n = 20, 21, \ldots, 25.
ESTRUTURAR
• 23 é o único primo entre 20 e 25.
• \varphi(23) = 22.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Um primo dá o maior valor possível, n - 1; os compostos dão menos.
A armadilha: achar que \varphi cresce com n e marcar \varphi(25). Como 25 é múltiplo de 5, \varphi(25) = 20.
CALCULAR
\varphi(20) = 8, \varphi(21) = 12, \varphi(22) = 10, \varphi(23) = 22, \varphi(24) = 8, \varphi(25) = 20.
O máximo é 22.
CONFERIR
23 é primo, então nenhum número de 1 a 22 tem fator comum com ele: \varphi(23) = 22. Alternativa C, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
22
Alternativa correta
C