Se a função f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} é definida por f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2} e a função g: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} é definida por g(x) = f(f(x)), então g(x) é igual a
Fuvest · 2019
Questão 47 — Fuvest 2019
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Troque x por \frac{2x+1}{x-2} dentro de f e multiplique numerador e denominador por x - 2.
Resolução
O que você precisa saber
- Composição: f(f(x)) = aplicar f ao resultado de f(x).
- Simplificar fração de frações.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: simplificar f\left(\frac{2x+1}{x-2}\right).
ESTRUTURAR
g(x) = \frac{2 \cdot \frac{2x+1}{x-2} + 1}{\frac{2x+1}{x-2} - 2}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Multiplicar em cima e embaixo por x - 2.
A armadilha: multiplicar f(x) \cdot f(x) em vez de compor, chegando a uma fração ao quadrado.
CALCULAR
Numerador: 2(2x + 1) + (x - 2) = 5x.
Denominador: (2x + 1) - 2(x - 2) = 5.
g(x) = \frac{5x}{5} = x.
CONFERIR
f(0) = -\frac{1}{2} e f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{0}{-2{,}5} = 0. A função é a própria inversa. Alternativa E, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
x.
Alternativa correta
E