O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.
Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y, é:
Fuvest · 2018
Questão 33 — Fuvest 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Os dois triângulos têm o diâmetro como hipotenusa, então são retângulos. Com hipotenusa 2 e ângulo x, os catetos são 2\cos x e 2\operatorname{sen} x.
Resolução
O que você precisa saber
- Triângulo inscrito com um lado no diâmetro é retângulo.
- sen(2x) = 2 sen x cos x.
- Área do círculo de raio 1: π.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: área do círculo menos a área do quadrilátero.
ESTRUTURAR
A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2\cos x \cdot 2\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(2x)ESCOLHER ESTRATÉGIA
Calcular cada triângulo e subtrair do círculo.
A armadilha: usar hipotenusa 1 (o raio) e chegar às alternativas com a metade dos senos.
CALCULAR
Triângulo com ângulo x: \operatorname{sen}(2x). Triângulo com ângulo y: \operatorname{sen}(2y).
Área cinza: \pi - \operatorname{sen}(2x) - \operatorname{sen}(2y).
CONFERIR
Com x = y = 45°, o quadrilátero é o quadrado de diagonal 2, área 2; e \operatorname{sen} 90° + \operatorname{sen} 90° = 2. Alternativa B, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
\pi - \operatorname{sen}(2x) - \operatorname{sen}(2y).
Alternativa correta
B