Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura.
A soma \alpha_1 + \cdots + \alpha_8 vale
Fuvest · 2018
Questão 29 — Fuvest 2018
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Cada ponta é o encontro dos prolongamentos de dois lados que têm outros dois lados entre eles. Veja quanto a direção "gira" de um desses lados para o outro, passando por três vértices do octógono.
Resolução
O que você precisa saber
- Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: 360°.
- Ângulo entre duas retas = 180° menos o giro de direção entre elas.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: somar os ângulos das 8 pontas usando os ângulos externos do octógono.
ESTRUTURAR
• Cada ponta é formada pelas retas de dois lados separados por dois lados.
• Indo de um desses lados ao outro, a direção gira três ângulos externos: e_1 + e_2 + e_3.
• Ângulo da ponta: 180° - (e_1 + e_2 + e_3).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Somar as 8 pontas: cada ângulo externo entra em 3 pontas.
A armadilha: pensar na estrela "comum", em que cada ponta é formada por lados separados por um só lado; aí a soma seria 720°. Nesta figura as pontas são mais agudas: os lados que formam cada ponta estão separados por dois.
CALCULAR
\sum \alpha_i = 8 \cdot 180° - 3 \cdot 360° = 1440° - 1080° = 360°.
CONFERIR
No octógono regular, cada ângulo externo é 45°, e cada ponta mede 180° - 135° = 45°; 8 \cdot 45° = 360°. Alternativa B, que confere com o gabarito oficial da Fuvest.
Resposta
360°.
Alternativa correta
B