Questão 138 ENEM 2021: Análise combinatória (anulada)

A Copa do Brasil teve, até a edição de 2018, 15 times diferentes como campeões da competição, conforme apresentado na imagem. Suponha que, como homenagem aos times campeões, a Confederação Brasileira de Futebol (CBF) pretenda colocar um painel na sua sede. Esse painel teria 6 linhas e, em cada uma delas, 5 placas, referentes a cada edição da competição, com o nome do time vencedor, o brasão e o ano do título. O painel deve ser fabricado de modo que a primeira linha só tenha clubes gaúchos (Internacional, Grêmio e Juventude); a segunda, apenas times cariocas (Flamengo, Vasco e Fluminense); a terceira, somente times mineiros (Cruzeiro e Atlético Mineiro); a quarta, exclusivamente clubes paulistas (Corinthians, Palmeiras, Santos, Paulista FC, Santo André), e as duas últimas sem nenhuma restrição.

Disponível em: http://campeoesdofutebol.com.br. Acesso em: 1 nov. 2018 (adaptado).

Qual expressão determina a quantidade de painéis diferentes que a CBF poderá montar?

(A)

\frac{7!}{5!} \cdot \frac{5!}{3!} \cdot \frac{7!}{6!} \cdot \frac{9!}{3! \cdot 3!} \cdot 10!

(B)

7! \cdot 5! \cdot 7! \cdot 9! \cdot 10!

(C)

30!

(D)

\frac{7!}{5! \cdot 5!} \cdot \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot \frac{9!}{5! \cdot 4!}

(E)

\frac{9!}{3!} \cdot 5! \cdot \frac{7!}{2!} \cdot \frac{9!}{4!} \cdot 10!

Resolução

O que você precisa saber

Arranjo: escolher e ordenar p objetos entre n distintos dá n! / (n − p)!.
Permutação: ordenar n objetos distintos dá n!.
Questões anuladas não têm alternativa considerada correta no gabarito oficial.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: de quantas formas as 30 placas (uma por edição) podem ser distribuídas e ordenadas nas 6 linhas, respeitando as regras.

Esta questão foi anulada pelo INEP no gabarito oficial, e nenhuma alternativa vale como resposta. Pela contagem abaixo, a expressão correta não aparece entre as alternativas. A resolução serve para estudo.

ESTRUTURAR

Placas gaúchas: Grêmio 5 + Internacional 1 + Juventude 1 = 7.
Placas cariocas: Flamengo 3 + Vasco 1 + Fluminense 1 = 5.
Placas mineiras: Cruzeiro 6 + Atlético Mineiro 1 = 7.
Placas paulistas: 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9.
Total: 30 placas = 6 linhas de 5.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Linha 1: escolher e ordenar 5 das 7 placas gaúchas. Linha 2: ordenar as 5 cariocas. Linha 3: 5 das 7 mineiras. Linha 4: 5 das 9 paulistas. As 10 placas que sobram (2 gaúchas, 2 mineiras, 4 paulistas, Criciúma e Sport) ocupam as 10 posições das duas últimas linhas em qualquer ordem.

A armadilha: tratar as placas de um mesmo time como iguais. Cada uma tem um ano diferente, então todas são distintas.

CALCULAR

\frac{7!}{2!} \cdot 5! \cdot \frac{7!}{2!} \cdot \frac{9!}{4!} \cdot 10!

CONFERIR

As linhas restritas usam 5 + 5 + 5 + 5 = 20 placas e sobram exatamente 10 para as duas linhas livres: 30 no total, uma por edição.

Resposta

Questão anulada pelo INEP no gabarito oficial: nenhuma alternativa é considerada correta. Pela contagem acima, a quantidade seria \frac{7!}{2!} \cdot 5! \cdot \frac{7!}{2!} \cdot \frac{9!}{4!} \cdot 10!.