Questão 138 ENEM Digital 2021: Arranjos e permutações (anulada)

A Copa do Brasil teve, até a edição de 2018, 15 times diferentes como campeões da competição, conforme apresentado na imagem. Suponha que, como homenagem aos times campeões, a Confederação Brasileira de Futebol (CBF) pretenda colocar um painel na sua sede. Esse painel teria 6 linhas e, em cada uma delas, 5 placas, referentes a cada edição da competição, com o nome do time vencedor, o brasão e o ano do título. O painel deve ser fabricado de modo que a primeira linha só tenha clubes gaúchos (Internacional, Grêmio e Juventude); a segunda, apenas times cariocas (Flamengo, Vasco e Fluminense); a terceira, somente times mineiros (Cruzeiro e Atlético Mineiro); a quarta, exclusivamente clubes paulistas (Corinthians, Palmeiras, Santos, Paulista FC, Santo André), e as duas últimas sem nenhuma restrição.

Disponível em: http://campeoesdofutebol.com.br. Acesso em: 1 nov. 2018 (adaptado).

Qual expressão determina a quantidade de painéis diferentes que a CBF poderá montar?

(A)

\dfrac{7!}{5!} \cdot \dfrac{5!}{3!} \cdot \dfrac{7!}{6!} \cdot \dfrac{9!}{3!\,3!} \cdot 10!

(B)

7! \cdot 5! \cdot 7! \cdot 9! \cdot 10!

(C)

30!

(D)

\dfrac{7!}{5! \cdot 5!} \cdot \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot \dfrac{9!}{5! \cdot 4!}

(E)

\dfrac{9!}{3!} \cdot 5! \cdot \dfrac{7!}{2!} \cdot \dfrac{9!}{4!} \cdot 10!

Resolução

O que você precisa saber

Escolher e ordenar p objetos entre n é um arranjo: n fatorial dividido por (n − p) fatorial.
Ordenar todos os n objetos é uma permutação: n fatorial.
Placas de títulos diferentes são diferentes, mesmo quando o time é o mesmo.

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o número de maneiras de distribuir e ordenar as 30 placas respeitando as linhas.

ESTRUTURAR

• Gaúchos: 5 + 1 + 1 = 7 placas.

• Cariocas: 3 + 1 + 1 = 5 placas.

• Mineiros: 6 + 1 = 7 placas.

• Paulistas: 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9 placas.

• Outros: Criciúma e Sport, 2 placas.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Arranjar 5 placas em cada uma das 4 primeiras linhas e permutar as 10 que sobram.

Observação: o INEP anulou esta questão no gabarito oficial. Pela contagem abaixo, nenhuma alternativa traz exatamente a expressão correta; a resolução fica como estudo de arranjos.

A armadilha: tratar as placas de um mesmo time como iguais e dividir por fatoriais de repetição, como nas expressões com 3!\,3! no denominador.

CALCULAR

\text{linha 1}: \frac{7!}{2!}\text{linha 2}: 5!\text{linha 3}: \frac{7!}{2!}\text{linha 4}: \frac{9!}{4!}\text{sobram}: 2 + 0 + 2 + 4 + 2 = 10\text{linhas 5 e 6}: 10!\text{total} = \frac{7!}{2!} \cdot 5! \cdot \frac{7!}{2!} \cdot \frac{9!}{4!} \cdot 10!

CONFERIR

Placas: 7 + 5 + 7 + 9 + 2 = 30 ✓, igual a 6 \cdot 5 posições ✓.

Resposta

Pela contagem, o total é \dfrac{7!}{2!} \cdot 5! \cdot \dfrac{7!}{2!} \cdot \dfrac{9!}{4!} \cdot 10!. A questão foi anulada pelo INEP.