Questão 38 Colégio Tiradentes 2020: Trigonometria: ângulos de 30° e 60° (resolvida)

Um alpinista se desloca em uma superfície plana, em direção a uma montanha, e vê na sua linha de visão o topo dessa montanha sob um ângulo de 30°. Caminha mais 2\sqrt{3} km na mesma direção e novamente vê, na sua linha de visão, o topo da montanha, agora sob um ângulo de 60°. Se a distância da linha de visão do alpinista em relação à superfície em que está caminhando é 2 m, então a altura do topo da montanha até a superfície na qual o alpinista se desloca é:

(A)

1\,900\sqrt{3} \text{ m}

(B)

2 502 m

(C)

(2\,500\sqrt{3} + 2) \text{ m}

(D)

2 800 m

(E)

3 002 m

Resolução

O que você precisa saber

Ângulo externo de um triângulo = soma dos dois internos não adjacentes.
Triângulo com dois ângulos iguais é isósceles (dois lados iguais).
sen 60° = √3 ÷ 2.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: a altura do topo, medida a partir da linha dos olhos, mais os 2 m dos olhos até o chão.

ESTRUTURAR

• A: primeiro ponto (ângulo de 30°); B: segundo ponto (ângulo de 60°); T: topo.

• AB = 2\sqrt{3} km.

• No triângulo ABT: ângulo em A = 30°, ângulo em T = 60° - 30° = 30°.

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Perceber que ABT é isósceles, então BT = AB. Depois usar o seno de 60° no triângulo retângulo com o topo.

A armadilha: esquecer os 2 m. A altura calculada com os ângulos começa na linha dos olhos, não no chão.

CALCULAR

Como os ângulos em A e em T medem 30°, BT = AB = 2\sqrt{3} km.

No triângulo retângulo com hipotenusa BT:

h = BT \cdot \text{sen } 60° = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}h = 3 \text{ km} = 3\,000 \text{ m}

Somando a altura dos olhos: 3\,000 + 2 = 3\,002 m.

CONFERIR

Pela tangente: do ponto B até o pé da montanha, d = h \div \sqrt{3} = \sqrt{3} km. Do ponto A: \text{tg } 30° = \dfrac{3}{\sqrt{3} + 2\sqrt{3}} = \dfrac{3}{3\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}. ✓

Resposta

A altura do topo da montanha é 3 002 m.

Alternativa correta E